第20讲：《二重积分的直角坐标计算法》内容小结、课件与典型例题与练习
一、平面区域的分类
1、X-型区域与简单X型区域
设平面区域 在 轴上的投影区间为 ，如果任取 ，过点 绘制与 轴同向的直线穿过区域，直线与区域的边界曲线的交点不多于两个，则区域为X-型区域，如下面的两个图.
2、Y-型区域与简单Y型区域
设平面区域 在 轴上的投影区间为 ，如果任取 ，过点 绘制与 轴同向的直线穿过区域，直线与区域的边界曲线的交点不多于两个，则把该区域称为 型区域，如下面的两个图展示的两个区域都为 型区域。
如果直线穿入区域的交点和穿出区域的交点的横坐标取值，即 的值都有统一的关于 变量的函数关系式，则 型区域称为简单 型区域. 简单 型区域可以用不等式描述为
同样， 变量的范围的可以通过将区域投影到 轴得到；而 变量的取值范围通过在 变量的取值范围内，任取一点做与x轴同向的直线穿过区域时对应的左、右边界曲线方程得到. 显然，上面第一个图有可能为简单 型区域，第二个图显然不为简单 型区域. 所以，先需要写出左、右边界曲线变量 关于 变量的函数表达式.
3、平面复杂区域
对于不是 型区域和 型区域的复杂平面区域，可以借助平行于两个坐标轴的直线将它分割成简单类型的区域并，如下面的两个图.
在实际求解问题中，一般采取分割的区域越少越好，当然还需要考虑是否方便写出相应的不等式描述形式，如果不等式描述不方便写出，则既使分割区域块数少，也不能说是一种有效的分割方式.
二、直角坐标系中二重积分计算的一般思路与方法
第一步：画图
画确定积分区域的各边界曲线，根据题意确定区域.
第二步：简化计算
判断积分区域整体，或者经过分割后的部分是否关于坐标轴、原点或 直线对称、判断被积函数整体，或者经加减运算拆项的部分是否具有相应变量的奇偶性，借助偶倍奇零或轮换对称性化简计算.
第三步：确定积分区域类型
对于最终需要计算的二重积分，根据积分区域图形与被积函数特征，确定积分区域的类型：简单 型或简单 型，如果不是，则分割积分区域.
第四步：投影求型限
将积分区域投影到型变量对应的坐标轴上，确定型变量的范围：常值区间.
第五步：画线定余限
在型变量的取值范围内，做平行于余变量对应的坐标轴，并且同向的有向直线穿过积分区域，入点为下限，出点为上限：上下限一般为型变量的函数或者直接为常值.
第六步：余变先积分，最后积型变
如果不考虑积分计算性质简化计算，则可以概括为以下25字计算过程：
画域图定型、投影求型限
画线定余限、余变先积分
最后积型变
三、直角坐标系下交换累次积分积分次序的解题思路与步骤
对于已经给出，或者选择了次序得到的二重积分累次积分表达式，如果因为被积函数对应先积分的变量不可积的话，则需要改变积分次序. 对于这类问题的基本解题思路与步骤与上面给出的二重积分计算步骤一样，唯一不同的是在前面添加一个步骤，确定积分区域边界曲线的步骤：根据累次积分上下限确定积分区域边界曲线，令各积分变量等于各自的上下限即可得到构成积分的边界曲线图形，再根据积分变量大于等于下限，小于等于上限确定的取值范围. 具体可以概括为如下几步：
(1) 令积分变量分别等于相应积分上下限表达式，得到构成积分区域的边界曲线方程；
(2) 绘制边界曲线方程对应的曲线图形，并由积分变量的取值范围确定所围成的积分区域；
(3) 判定区域是否为所需累次积分对应的简单区域类型，如果不是，则用平行于坐标轴的直线分割积分区域为所需类型的简单区域；
(4) 利用二重积分构建累次积分的步骤与方法，写出简单区域的不等式描述形式，并写出相应区域上的累次积分表达式。
(5) 如果对区域进行了分割，则最终积分结果为各个简单区域上的累次积分之和。
【注1】 对于多个累次积分同时转换，则一次在同一坐标系中画出所有图形，最后再一起考虑.
【注2】 交换累次积分的次序，或者说选择合适的积分次序，不仅仅从积分区域出发选择恰当的积分次序，而且也需要考虑被积函数来确定积分次序，比如被积函数为 时，就不能先对 求积分，必须先对 求积分，才有可能计算出二重积分的结果。
对于二重积分直角坐标系下的计算一般思路与交换积分次序的详细过程与实例分析，可以参考课件中给出的例题的参考解答过程，也可以参见视频课堂课程中的“交换积分累次积分次序的基本思路与方法”章节的详细分析与讨论。另外在中也对二重积分的一般计算思路与方法结合典型题进行了详细的分析与探讨。
第一届全国初赛非数学专业真题解析
二重积分的一般计算思路与方法
●二重积分计算的换元法及实例解析
●二重积分计算一般思路与步骤分析
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参考课件
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